1 引言

锻造成形是现代制造业中的重要加工方法之一。锻造成形的制件有着其他加工方法难以达到的良好的力学性能。随着科技发展，锻造成形工艺面临着巨大的挑战各行业对锻件质量和精度的要求越来越高，生产成本要求越来越低。这就要求设计人员在尽可能短的时间内设计出可行的工艺方案和模具结构。但目前锻造工艺和模具设计，大多仍然采用实验和类比的传统方法，不仅费时而且锻件的质量和精度很难提高。随着有限元理论的成熟和计算机技术的飞速发展，运用有限元法数值模拟进行锻压成形分析，在尽可能少或无需物理实验的情况下，得到成形中的金属流动规律、应力场、应变场等信息，并据此设计工艺和模具，已成为一种行之有效的手段。

锻造成形大多属于三维非稳态塑性成形，一般不能简化为平面或轴对称等简单问题来近似处理。在成形过程中，既存在材料非线性，又有几何非线性，同时还存在边界条件非线性，变形机制十分复杂，并且接触边界和摩擦边界也难以描述。应用刚（粘）塑性有限元法进行三维单元数值模拟是目前国际公认的解决此类问题的最好方法之一。

2 刚（粘）塑性有限元法

刚（粘）塑性有限元法忽略了金属变形中的弹性效应，依据材料发生塑性变形时应满足的塑性力学基本方程，以速度场为基本量，形成有限元列式。这种方法虽然无法考虑弹性变形问题和残余应力问题，但可使计算程序大大简化。在弹性变形较小甚至可以忽略时，采用这种方法可达到较高的计算效率。

刚塑性有限元法的理论基础是Markov变分原理。根据对体积不变条件处理方法上的不同（如 Lagrange乘子法、罚函数法和体积可压缩法），又可得出不同的有限元列式其中罚函数法应用比较广泛。根据Markov变分原理，采用罚函数法处理，并用八节点六面体单元离散化，则在满足边界条件、协调方程和体积不变条件的许可速度场中对应于真实速度场的总泛函为：

∏≈∑π（ｍ）＝∏（1，2，…，ｍ）（1）

对上式中的泛函求变分，得：

∑＝０（2）

采用摄动法将式（2）进行线性化：

＝＋Δｕｎ（3）

将式（3）代入式（2），并考虑外力、摩擦力在局部坐标系中对总体刚度矩阵和载荷列阵的贡献，通过迭代的方法，可以求解变形材料的速度场。

3 模拟中的关键技术

有限元法数值模拟在锻造成形中的应用最早是进行二维的模拟分析。二维模拟分析技术发展比较成熟，经过适当简化，能够模拟普通的平面应变、应力和轴对称成形等较简单问题。但生产中，大多数零件形状比较复杂，影响因素多，如果仍然作为平面或轴对称问题来处理，所得结果与实际相比会有较大差距。进行三维有限元模拟是解决此类问题的有效途径。所以从上世纪80年代起，国内外在三维有限元模拟方面做了大量工作，明确了模拟关键制约技术及相应的解决方案，主要表现在以下几方面：

3.1 模具结构的数学描述

材料塑性变形受力状况，取决于与模具表面的接触情况所以准确、完整地描述模具的型腔信息是取得理想模拟结果的基础。由于复杂锻件的模具结构比较复杂，描述起来较困难。目前，常用的描述方法有解析式法、有限元网格的近似描述法、参数曲面法及结合参数曲面的CAD实体模型描述法等。

近似描述法是对模具型腔进行有限元网格剖分，将连续的型腔结构划分成有限个微小单元体，用这些单元的结合体近似表示模具的型腔信息。这种方法由于采用了有限元网格表达结构信息，数学处理比较方便，并在模拟中有利于动态边界条件简化处理。但是因其精度不高，对精密度要求比较高的成形过程，尚需划分更多的单元格，从而降低了动态接触中的求交搜索效率。

结合参数曲面法在模具的型腔表面的描述上仍采用Bezier曲面等，而对整个模块则采用实体造型，从而准确有效而又全面地描述了模具的几何特征。现在很多商业CAD软件都采用这种造型方法，所以用这些软件可以很方便地建立起模具的几何特征，并且数据的交换也很方便。

在这些方法中，解析式法在实际应用中局限性最大，应用很少；有限元网格的近似描述法由于其数据与有限元求解器交换的方便性，而成为当前的主流方法；但随着三维实体造型软件的广泛应用，CAD实体造型描述法由于其自身的优点，必将越来越广泛地应用于数值模拟中。

3.2 摩擦边界条件处理

锻造成形过程中锻件与模具型腔间的接触摩擦是不可避免的，且两接触体的接触面积、压力分布与摩擦状态随加载时间的变化而变化，即接触与摩擦问题是边界条件高度非线性的复杂问题。摩擦问题有限元模拟使用的理论最初是经典干摩擦定律，以后在其基础上发展起了以切向相对滑移为函数的摩擦理论和类似于弹塑性理论形式的摩擦理论。

经典干摩擦定律是Coulomb于1781年提出来的，他认为当切向力小于临界值时，处于纯粘着状态，接触面的相对滑移量为零。现代的研究分析表明，任一个小于临界值的摩擦力都会产生一个微小的位移。所以经典摩擦定律在解决塑性变形时的摩擦问题是